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Documentation technique

Méthode et formules : Rente sur deux têtes

Cette page rassemble les conventions de calcul, les formules et les exemples chiffrés. Elle complète le calculateur sans interrompre son parcours guidé.

En cas de décès de la victime, capitaliser la perte périodique subie par un proche : la rente n'est due que tant que la victime aurait été en vie et que l'ayant droit est en vie.

En bref

  • Quand une personne décède, ses proches perdent la part de ses revenus dont ils bénéficiaient. Cette perte aurait duré tant que la victime aurait vécu (et travaillé), mais elle ne se subit que tant que l'ayant droit vit lui-même.
  • Le calculateur fait donc intervenir deux survies : la survie « virtuelle » de la victime (lue dans la table comme si l'accident n'avait pas eu lieu) et la survie réelle de l'ayant droit.
  • Une cessation peut être fixée sur l'âge qu'aurait atteint la victime, typiquement l'âge de la pension pour une perte de revenus professionnels (indiquer 120 ans ou aucun âge pour une rente vie entière).

Exemple introductif

Un homme de 40 ans décède ; sa compagne de 38 ans perd 1 200 € par an de contribution, qu'il aurait apportée jusqu'à sa pension à 67 ans. Au taux de 2 %, Méthode Jaumain prospectives :

C=19,88⟹K=19,88×1 200 EUR=23 859 EURC=19{,}88 \qquad\Longrightarrow\qquad K=19{,}88\times 1\,200\,\mathrm{EUR}=23\,859\,\mathrm{EUR}

À comparer au coefficient de 20,17 d'une rente sur la seule tête de la victime : la mortalité de l'ayant droit réduit le coefficient d'environ 1,4 %. C'est précisément ce que le calcul sur deux têtes apporte.

La formule

Les deux survies sont supposées indépendantes. La probabilité que la rente soit due à l'échéance tt est le produit :

p2(t)=pvictime(t) payant droit(t)p_2(t)=p_{\mathrm{victime}}(t)\,p_{\mathrm{ayant\ droit}}(t)

où pvictimep_{\mathrm{victime}} est lue dans la table de mortalité choisie comme si le décès accidentel n'était pas survenu (survie « virtuelle »). Le coefficient suit ensuite la convention commune des rentes (arrérages à terme échu + prorata au décès, base annuelle : voir les principes) :

C=∑j1mvtjp2(tj)+∑j12mvtj−1/(2m)[p2(tj−1)−p2(tj)]C = \sum_j \frac{1}{m}v^{t_j}p_2(t_j) + \sum_j \frac{1}{2m}v^{t_j-1/(2m)} \left[p_2(t_{j-1})-p_2(t_j)\right]

la somme étant limitée, le cas échéant, à la date où la victime aurait atteint l'âge de cessation.

L'impact des paramètres

Cas de l'exemple (victime H 40 ans, ayant droit F 38 ans, 1 200 €/an, taux 2 %) :

VarianteCoefficientCapital
Cessation à 67 ans de la victime, Méthode Jaumain19,88323 859 €
Idem, Tables Indemnity19,79723 756 €
Idem, Tables Schryvers19,79623 755 €
Vie entière (pas de cessation), Méthode Jaumain27,61733 140 €
Une seule tête (victime), cessation 67 ans, Méthode Jaumain20,17024 204 €

Lectures :

  • pour les rentes temporaires (jusqu'à la pension), les trois tables concordent à 0,4 % près : le choix de la table n'est pas l'enjeu ;
  • l'écart une tête / deux têtes grandit avec l'âge de l'ayant droit et la durée : pour un ayant droit âgé, la rente sur deux têtes est nettement plus courte ;
  • le sexe des deux personnes compte : la surmortalité masculine joue sur chacune des deux survies.

Points d'attention

  • L'ayant droit peut être le conjoint, mais aussi tout bénéficiaire de la contribution perdue ; pour plusieurs ayants droit, on mène un calcul par bénéficiaire avec sa part de la perte.
  • La rente s'arrête au premier des deux événements : décès (réel) de l'ayant droit ou décès (virtuel) de la victime : c'est le sens du produit des survies. Si la perte devait survivre au décès de l'ayant droit (par exemple au profit d'héritiers), c'est la rente sur une tête (la victime) qu'il faut utiliser.
  • Pour la perte de la contribution ménagère (et non de revenus), voir le calculateur spécialisé dommage ménager, qui ajoute les enfants à charge et les quote-parts d'entretien personnel.